§３演習問題B（p.106）

教科書外の公式は書きませんのでそのつもりで．

[@]

1. 次の関数の極地を求めよ．

[@]

（1） $y=\left(x+1\right)^{3}\left(x-3\right)$

解

$y'=\left\{\left(x+1\right)^{3}\right\}'\left(x-3\right)+\left(x+1\right)^{3}\left(x-3\right)'$ ※１

$=3\left(x+1\right)^{2}\left(x-3\right)+\left(x+1\right)^{3}$ ※２，３

$=\left(x+1\right)^{2}\left\{3\left(x-3\right)+\left(x+1\right)\right\}$

$=\left(x+1\right)^{2}\left(3x-9+x+1\right)$

$=\left(x+1\right)^{2}\left(4x-8\right)$

$=4\left(x+1\right)^{2}\left(x-2\right)$

$y'=0$ のとき、

$4\left(x+1\right)^{2}\left(x-2\right)=0$

$\left(x+1\right)^{2}\left(x-2\right)=0$

$\text{[math]}$ ∴ $x=-1,2$

$\text{[math]}$ ∴ $x>2$ のとき、増加 $-1>x,-1<x<2$ のとき、減少（皆は増減表を書きましょう。俺は面倒だからパス。）

$x=-1,2$ のとき、

$y=0$

$y=3^{3}\cdot\left(-1\right)$

$=-27$

∴ $x=2$ のとき、極小 $-27$

使用公式

※１　積の微分

$\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$

※２　合成関数

$\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'=f'\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)$

$\text{[math]}$ ※３

$a,b$ は定数．

$\left(ax^{b}\right)'=abx^{b-1}$

[@]

（2） $y=\displaystyle \frac{x^{2}+x+1}{x+1}$

解

$y'=\displaystyle \frac{\left(x^{2}+x+1\right)'\left(x+1\right)-\left(x^{2}+x+1\right)\left(x+1\right)'}{\left(x+1\right)^{2}}$ ※１

$=\displaystyle \frac{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)-\left(x^{2}+x+1\right)}{\left(x+1\right)^{2}}$

$=\displaystyle \frac{2x^{2}+3x+1-x^{2}-x-1}{\left(x+1\right)^{2}}$

$=\displaystyle \frac{x^{2}+2x}{\left(x+1\right)^{2}}$

$=\displaystyle \frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)^{2}}$

$y'=0$ のとき、

$\displaystyle \frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)^{2}}=0$

$\text{[math]}$ ∴ $x=-2,0, x\neq-1$

$\text{[math]}$ ∴ $-2>x,x>0$ のとき増加　 $-2<x<0$ のとき減少（皆は増減表を書きましょう。俺は面倒だからパス。）

$x=-2,0$ のとき、

$y=\displaystyle \frac{\left(-2\right)^{2}-2+1}{-2+1}$

$=\displaystyle \frac{4-2+1}{-2+1}$

$=\displaystyle \frac{3}{-1}$

$=-3$

$y=\displaystyle \frac{0^{2}+0+1}{0+1}$

$=1$

$\text{[math]}$ ∴ $x=-2$ 極大 $-3 , x=0$ 極小 $1$

使用公式

※１　商の微分

$\displaystyle \left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^{2}}$

[@]

（3） $y=\displaystyle \frac{x}{\sqrt[3]{x}-1}$

解

$y'=\displaystyle \frac{x'\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)-x\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)'}{\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)^{2}}$ ※１

$=\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}-1-x\cdot\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}}{\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)^{2}}$ ※２

$=\displaystyle \frac{3x^{\frac{1}{3}}-3-x^{\frac{1}{3}}}{3\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)^{2}}$

$=\displaystyle \frac{2x^{\frac{1}{3}}-3}{3\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)^{2}}$

$y'=0$ のとき、

$\displaystyle \frac{2x^{\frac{1}{3}}-3}{3\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)^{2}}=0$

$\text{[math]}$ ∴ $x=\displaystyle \frac{27}{8} , x\neq 1$

$\text{[math]}$ ∴ $x>\displaystyle \frac{27}{8}$ のとき増加 $x<\displaystyle \frac{27}{8}$ のとき減少（皆は増減表を書きましょう。俺は面倒だからパス。）

$x=\displaystyle \frac{27}{8}$ のとき、

$y=\displaystyle \frac{\frac{27}{8}}{\sqrt[3]{\frac{27}{8}}-1}$

$=\displaystyle \frac{\frac{27}{8}}{\frac{3}{2}-1}$

$=\displaystyle \frac{27}{12-8}$

$=\displaystyle \frac{27}{4}$

$\text{[math]}$ ∴ $x=\displaystyle \frac{1}{8} ,$ 極小 $\displaystyle \frac{27}{4}$

使用公式

※１　商の微分

$\displaystyle \left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^{2}}$

$\text{※２}$

$a,b$ $\text{は定数．}$

$\left(ax^{b}\right)'=abx^{b-1}$

[@]

（4） $y=x^{2}\left(1-\log x\right)$

解

$y'=\left(x^{2}\right)'\left(1-\log x\right)+x^{2}\left(1-\log x\right)'$ ※１

$=2x\displaystyle \left(1-\log x\right)-x^{2}\cdot\frac{1}{x}$ ※２，３

$=2x-2x\log x-x$

$=x-2x\log x$

$=-x\left(2\log x-1\right)$

$y'=0$ のとき、

$-x\left(2x\log-1\right)=0$

$\text{[math]}$ ∴ $x=0,\sqrt{[NapierNumber]}$

$\text{[math]}$ ∴ $0<x<\sqrt{[NapierNumber]}$ のとき増加 $\sqrt{[NapierNumber]}<x$ のとき減少（皆は増減表を書きましょう。俺は面倒だからパス。） $\text{（}\log \mathrm{x}\left(x>0\right)\text{）}$

※３

$\displaystyle \left(\log x\right)'=\frac{1}{x}$

$\text{[math]}$

$x=\sqrt{[NapierNumber]}$ のとき、

$y=\sqrt{[NapierNumber]}^{2}\left(1-\log\sqrt{e}\right)$

$=[NapierNumber]\left(1-\frac{1}{2}\log[NapierNumber]\right)$

$=[NapierNumber]\left(1-\frac{1}{2}\right)$

$=\displaystyle \frac{[NapierNumber]}{2}$

$\text{[math]}$ ∴ $x=\sqrt{[NapierNumber]}$ , 極大 $\displaystyle \frac{[NapierNumber]}{2}$

使用公式

※１　積の微分

$\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$

$\text{[math]}$ ※２

$a,b$ は定数．

$\left(ax^{b}\right)'=abx^{b-1}$

$\text{[math]}$ ※３

$\displaystyle \left(\log x\right)'=\frac{1}{x}$

[@]

（5） $y=x^{3}-6\log\left(x+1\right)$

解

$y'=3x^{2}-\displaystyle \frac{6}{x+1}$ ※１

$=\displaystyle \frac{3x^{2}\left(x+1\right)-6}{x+1}$

$=\displaystyle \frac{3x^{3}+3x^{2}-6}{x+1}$

$=\displaystyle \frac{3\left(x^{3}+x^{2}-2\right)}{x+1}$

$=\displaystyle \frac{3\left(x-1\right)\left(x^{2}+2x\right)}{x+1}$

$=\displaystyle \frac{3x\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+1}$

$y'=0$ のとき、

$\displaystyle \frac{3x\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+1}=0$

$\text{[math]}$ ∴ $x=-2,0,1 x\neq-1$

$\text{[math]}$ ∴ $x>1$ のとき増加 $,-1<x<1$ のとき減少（皆は増減表を書きましょう。俺は面倒だからパス。） $\text{（}\log \mathrm{x}\left(x>0\right)\text{）}$

$x=1$ のとき、

$y=1^{3}-6\log\left(1+1\right)$

$=1-6\log 2$

$\text{[math]}$ ∴ $x=1,$ 極小 $1-6\log 2$

使用公式

※１

$\displaystyle \left(\log x\right)'=\frac{1}{x}$

[@]

2. 関数 $y=x\left(x-a\right)^{2} \left(a\neq 0\right)$ が極大になるグラフ上の点 $P$ の座標を $a$ で表せ．また､ $a$ が変化するとき、点 $P$ の軌跡を図示せよ．

解

$y'=x'\left(x-a\right)^{2}+x\left\{\left(x-a\right)^{2}\right\}'$ ※１

$=\left(x-a\right)^{2}+2x\left(x-a\right)$

$=x^{2}-2ax+a^{2}+2x^{2}-2ax$

$=3x^{2}-4ax+a^{2}$

$=\left(3x-a\right)\left(x-a\right)$

$y'=0$ のとき、

$\left(3x-a\right)\left(x-a\right)=0$

$\text{[math]}$ ∴ $x=\displaystyle \frac{a}{3},a$

$\text{[math]}$ ∴ $a>0$ のとき、

$\displaystyle \frac{a}{3}>x,x>a$ 増加 $\displaystyle \frac{a}{3}<x<a$ 減少

$x=\displaystyle \frac{a}{3}$ のとき、

$y=\displaystyle \frac{a}{3}\left(\frac{a}{3}-a\right)^{2}$

$=\displaystyle \frac{a}{3}\cdot\frac{4a^{2}}{9}$

$=\displaystyle \frac{4a^{3}}{27}$

$\text{[math]}$ ∴ $x=\displaystyle \frac{a}{3}$ のとき極大 $\displaystyle \frac{4a^{3}}{27}$

$\text{[math]}$ ∴ $P\left(\frac{a}{3},\frac{4a^{3}}{27}\right)$

$a=3x$

$y=\displaystyle \frac{4\left(3x\right)^{3}}{27}$

$y=4x^{3}$

$a<0$ のとき、

$\displaystyle \frac{a}{3}<x<a$ 増加 $\displaystyle \frac{a}{3}>x,x>a$ 減少

$x=a$ のとき、

$y=a\left(a-a\right)^{2}$

$=0$

$\text{[math]}$ ∴ $x=a$ のとき　極大 $0$

$\text{[math]}$ ∴ $P\left(a,0\right)$

$y=0$

使用公式

※１　積の微分

$\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$